Jihočeský rodák začínal s hokejem v Písku, odkud v juniorském věku zamířil do Českých Budějovic. Mládežnický reprezentant si svými skvělými výkony řekl o zájem z Kanady, v OHL však vydržel jednu sezonu, po které se vrátil zpátky na jih Čech. V barvách Mountfieldu se následně učil od Romana Turka, vedle kterého během prvních 23 extraligových zápasů naznačil, že ho čeká velká budoucnost.

V dalších sezonách převzal Jakub Kovář pozici českobudějovické jedničky, když z pozice trojky dovezl bronz ze světového šampionátu v roce 2011 a stejnou medaili vychytal už jako jednička o rok později.

V roce 2013 pak udělal další skok v kariéře, když zamířil do ruského Jekatěrinburgu. S roční zastávkou v Čerepovci strávil v Avtomobilistu osm sezon, v nichž se zařadil mezi gólmanskou špičku celé soutěže a z průměrného týmu vytvořil stabilního účastníka play off.

Ačkoliv se během let spekulovalo o zájmu z NHL, i přes výrazný interes Philadelphie nakonec k expanzi za moře nedošlo. Skvěle rozjetou kariéru navíc přibrzdilo zranění, po němž se mluvilo dokonce o předčasném konci, jenže český brankář se dal dohromady a vrátil se na vrchol.

V průběhu sezony 2021/2022 využil šance od Curychu, kterému skvělými výkony vychytal finále play off. V něm ovšem Lions ztratili vedení 3:0 na zápasy, načež se z titulu radoval Zug, v jehož barvách zářil brankářův bratr Jan. Už před sérií však Jakub Kovář oznámil, že ve Švýcarsku končí, jelikož se chtěl vrátit do Česka, kde se dohodl se Spartou.