Mladší z bratrů Chlapíků začínal s hokejem ve Slavii, odkud se přes Letňany a Liberec dostal do dorostu Sparty. V holešovickém klubu se potkal se svým starším bratrem Adamem, kterého už brzy přerostl. Mladší z bratrů zamířil v roce 2014 do kanadské QMJHL, což bylo zlomové rozhodnutí jeho kariéry.

Výborná první sezona se 75 body v 64 zápasech mu na draftu NHL vynesla zájem Ottawy, která si českého mladíka vybrala ve druhém kole jako 48. hráče v pořadí. Mládežnický reprezentant strávil v juniorské soutěži další dvě sezony, než přišel další krok vzhůru. Filip Chlapík se přesunul na farmu, kde působil tři sezony.

Už v té premiérové si připsal celkem dvacet startů v NHL, které během tří let rozšířil na celkových 56 zápasů s bilancí pěti gólů a šesti asistencí. Poctivý pracant a šikovný centr pendloval mezi farmou a prvním týmem, odkud se na podzim 2020 přesunul do Česka.

Filip Chlapík si připsal extraligový debut a ve třech zápasech za Spartu vstřelil jeden gól. Vzápětí se vrátil do Ottawy, za kterou však odehrál jeden zápas a po rozvázání smlouvy se Senators se vrátil do Evropy. Kvůli uzavřenému přestupnímu termínu nezamířil do Sparty, nýbrž nastupoval za finské Pelikány z Lahti. V létě 2021 však podepsal novou smlouvu ve Spartě.